2021-4-14，哥德尔不完...

2021-4-14，哥德尔不完备定理和归纳演绎的对立统一结构 在我们平时的思考中，我们惯常运用的工具就是归纳法，观察现象和数据，然后得出结论，这种办法的优点是快捷，迅速，缺点是粗糙，无法把楼盖得更高。 我们平时处理的都是简单事物，不需要那么高的精度，反而需要很高的时效性。这几个基础事实导致了归纳法的使用和成功充斥在我们生活的方方面面。 但是，如果我们想完成更复杂的工作，则需要更高的精度。这是因为更复杂的工作是串行的，误差会随着步骤的增多，不断地累积和放大。 通过这个对比，我们就能知晓，归纳法和演绎法（第一性原理）各自适用的领域，一个适用简单快速推理，一个适用复杂多步骤推理。更进一步，二者是一个对立统一的关系，因为归纳法是演绎法的起点，演绎法的很多公理和假设来自于经验和事实的归纳，巧妇难为无米之炊。 目前的业界，有一种倾向，这种倾向源自于人类社会的自然习惯，滥用归纳法，任何事情都用归纳法来解决，重数据和经验而轻视理论，对于这类人有一个很戏谑的称呼——数据收集器。他们不得不迁就数据和经验，这就导致他们的理论框架是破碎的。他们都有一个小本本，里面记满了密密麻麻的戒律，碰到现象a该做b——走到黑色的大山前，要大喊一句哈利路亚，你问他们为什么，他们会给你一个到两个解释，乍一听这个解释，你一定会被唬得一愣一愣的，但细细琢磨，那就是同义反复。 作为一个自然人，我们的天然倾向是把归纳法用到极致（分类机器），这是进化为我们塑造的本性，也是一个适应性结果。 我们单纯地批判这个现象无意义。 我们还需要找到另外一个极端，这个极端是一帮神——数学家——创造的。他们想彻底摆脱凡人的躯壳，回避凡人的感觉器官和主观立场。所以，他们尽可能地压制归纳法的使用——去压缩公理的数目。事实上，他们做得很好，一度大数学家希尔伯特抛出一个希尔伯特计划：建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪。 从归纳法和演绎法对立统一的视角来看，这就是想把归纳法的领地压缩至有限——有限公理体系。 后来的事情，大家都知道了（尤其是数学系的学生），伟大的库尔特-哥德尔在1931年提出了旷古烁今的哥德尔不完备定理。说哥德尔是数学第一人，绝大部分搞数学的都没有什么异议。因为这个工作太重要了。 这个定理讲了啥呢？用抽象语言描述就是：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的 形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。 换个好理解的视角就是，我无法构作一个有限公理的体系，同时满足完备性和自恰性。 这个定理的证明过程能更好地向我们展示背后的直觉： 哥德尔天才地发明了一个归档系统，把公理和定理归结为哥德尔数，公理不能被证明，只能来自于归纳法，对应成素数；定理可以被有限的几条公理证明，所以，可以对应成这几条公理所对应素数组合成的合数。 哥德尔不完全定理的核心在于，展示了命题的可证性和真伪是两回事。于是，他的证明过程就是在展示这种分离。 首先，他构作了一个命题P：本命题不能被有限公理体系N证明。(类似于那个悖论，我说的这句话是假话。） P为真当且仅当P不可证，P为假当且仅当P可证。 通过这个方法我们可以找到P，然后把这个P加到公理体系里，我们又能找到P+1。 也就是说，哥德尔发现了一系列既为真，又不可证的命题P，而且，这种命题是无限的。 切换到自然数的视角，我们都知道，素数的个数是无穷大的，也就是，公理的数目是无穷大的。因此，数学家根本没有办法把归纳法压缩到有限——公理有限。我们的形式逻辑系统里存在很多不可证明且为真的东西。 哥德尔的伟大之处就在于，他构造了一个归纳和演绎的对立统一，这两个东西都很重要，我们无法走极端——要么彻底地归纳，要么彻底地演绎。 我们得承认理性是重要的又是有限的。 当然，哥德尔更伟大的地方在于，他发现了一种描述归纳和演绎对立统一的结构——素数结构。 随着自然数的增大，素数越来越稀疏。也就是说，在自然数较小的阶段，归纳是重要的，100以内的素数有25个；但是，随着自然数的增大，素数的密度越来越低。 如果说素数代表了经验和归纳，合数代表了逻辑和演绎，从自然数的结构上来看。在人类认知的早期阶段，当然是归纳更重要，但是，在后期阶段，演绎的作用更加重要——往前推进大半天才发现一个素数。 综上所述，我们既不能盲目地去当数据接收器，也不能想当然地脱离实际，认为理性是无限的，更不能去和稀泥，不知所谓的既要又要还要。我们得从对立统一的角度认识非理性和理性的对立统一，而且，还要站在巨擘的肩膀上窥探这种对立统一的结构。 数学第一人当然牛逼，我们不用那么牛逼，我们只要会用这些人的成果就可以了。 理解了归纳演绎的对立统一，我们就能知道人和人的区别能有多大。 不知道对立统一存在是一层楼，知道对立统一存在是二层楼，知道对立统一的结构是三层楼。 我们要尽可能地爬到三层楼上看问题，不那么爬虫。